Aprenda dois métodos para calcular o máximo divisor comum de números naturais.

Seja franco consigo mesmo, considere uma possibilidade de errar uma questão de concurso cujo conteúdo principal seja MDC?

Muitos diriam que a chance é muito baixa, já que o conteúdo foi aprendido no 6º ano do Ensino Fundamental.

É certo que os erros acontecem ou então o candidato perde muito tempo em questões que abordam o conteúdo máximo divisor comum.

Dessa forma, não podemos negligenciar nem esperar que você erre uma questão útil ao mdc para abordar o tema aqui.

Vamos iniciar pelo conceito do máximo divisor comum. Em seguida, abordar duas formas para encontrar o MDC de dois ou mais números naturais.

Conceito

Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, denominados se máximo divisor comum desses números ou maiores dos seus divisores comuns.

Comece pelo método de decomposição em fatores primos.

1.  Resolução pelo método de decomposição em fatores primos

Vamos calcular o MDC dos números \(40\) e \(64\).

1ª) Decomponha os números \(40\) e \(64\) em fatores primos.

Usando esse método simples de decomposição em fatores primos, descobrimos que a decomposição em fatores primos dos números \(40\) e \(64\).

\(\40 = 2^{3}cdot 5^{1}\ 64 = 2^{6}\)

Para ajudar aqui no seu entendimento do método, faremos, sem violar as regras matemáticas, uma adaptação na decomposição do número \(64\).

Diremos que \(64 = 2^{6} cdot 5^{0}\). Sabemos antecipadamente que \(5^{0} = 1\), ou seja, sua inclusão ali não afeta em nada sua decomposição do número \(64\).

Dando continuidade, faremos uma comparação entre como decomposições variáveis.

\(\40 = 2^{3}cdot 5^{0}\ 64 = 2^{6} cdot 5^{0}\)

2ª) Multiplicamos os fatores primos comuns, cada um deles maior e menor expoente.

Veja que o fator primo \(2\) é comum e seu menor expoente \(3\). Dessa forma, usaremos a potência \(2^{3}\) no cálculo do MDC.

Veja que o fator primo \(5\) é comum e seu menor expoente é \(0\). Dessa forma, usaremos a potência \(5^{0}\) no cálculo do MDC.

Podemos agora multiplicar os fatores primos comuns.

\(MDC(40,64)=2^{3}cdot 5^{0}=8cdot 1=8\)

Dessa forma, o máximo divisor comum dos números \(40\) e \(64\) é \(8\).

Veja que a potência \(50\) não fez nenhuma diferença na multiplicação dos fatores primos comuns.

Poderíamos também não ter colocado o fator \(5\) como fator comum entre os números \(40\) e \(64\), já que \(5\) realmente não é fator comum do número \(64\).

Veja agora o vídeo onde eu te explico na prática como encontrar o MDC dos números \(40\) e \(64\). Espero que goste!

2. Resolução pelo método de divisões sucessivas.

1ª) Dividimos o maior número pelo menor.

2ª) Se a divisão for exata, ou seja, o resto é zero, o maior divisor comum será o menor deles. Agora se a divisão for inexata, dividiremos o menor pelo resto e assim sucessivamente. Dessa forma, quando obtivermos um resto zero, o último divisor será o MDC procurado.

Na nossa divisão, o resto não foi zero, ou seja, a divisão não é exata. Nesse caso, dividiremos o número menor \((40)\)  pelo resto \((24)\).

A divisão não foi exata, então dividiremos o menor \((24)\) pelo resto \((16)\).

A divisão não foi exata, então dividiremos o menor \((16)\) pelo resto \((8)\).

Agora sim a divisão foi exata. Nesse caso, o MDC será o menor número \((8)\).

Certamente essa metodologia de cálculo de MDC não é muito usual, mas acredito que é válido já que você expande a sua forma de pensar.

Fizemos aqui o cálculo de MDC de dois números. No cálculo do MDC de três números, você pode determinar o MDC dos dois maiores e, em seguida, determinar o MDC do resultado obtido com o menor número.

Agora veja o cálculo do MDC de \(40\)  e \(64\) no vídeo que preparamos para você onde aplico o método de divisões sucessivas.

Conforme havia dito anteriormente, os estudantes, ou melhor, os concurseiros/as concurseiras estão invariavelmente questionando se realmente cai uma questão envolvendo mdc em prova de concurso.

Aqui vai um conselho para você: não dê sopa para o azar, ou seja, não descuide-se, não vacile na questão cujo assunto é máximo divisor comum. 

Dessa forma, vamos resolver uma questão de concurso cujo assunto é mdc.

Seguem as informações básicas da questão.

Ano:  2015

Banca:  VUNESP

Órgão:  Prefeitura de Suzano – SP

Prova:  Professor de Educação Básica Adjunto

Dona Suzana é uma excelente cozinheira e vende salgadinhos. Ela preparou \(30\) coxinhas, \(120\) empadinhas e \(75\) croquetes. Ela quer fazer pacotes com cada um desses salgados, de modo que todos eles contenham a mesma quantidade. Ela quer também que os embrulhos tenham a maior quantidade de salgadinhos possível e que não sobre nenhum, ou seja, todos deverão ser empacotados. Assim, dona Suzana obterá a seguinte quantidade de pacotes:

Vamos iniciar organizando os tipos e quantidades de salgados que Dona Suzana preparou.

Há duas informações importantíssimas que devemos levar em consideração.

1ª informação: “Ela quer fazer…eles contenham a mesma quantidade”.

Serão feitos pacotes com cada um dos três salgados, isto é, os salgados não se misturam nos pacotes. Além disso, os pacotes contêm a mesma quantidade de salgados. Por exemplo, se a Dona Suzana fizer pacotes com três coxinhas, ela deve fazer pacotes com três empadinhas e três croquetes.

2ª informação: “Ela quer também que os embrulhos tenham a maior quantidade de salgadinhos possível e que não sobre nenhum”.

Os embrulhos devem ter a maior quantidade de salgadinhos. Essa informação coloca um pouco mais de emoção na resolução.

Por exemplo, não podemos fazer pacotes colocando apenas \(1\)  salgado em cada pacote. Nesse caso, teríamos 30 pacotes de coxinhas, \(120\) pacotes de empadinhas e \(75\)  pacotes de croquetes.

Veja que a menor quantidade de salgados por pacotes gera a maior quantidade de pacotes.

Entretanto, queremos o contrário, a maior quantidade de salgados por pacote. Isso gera a menor quantidade de pacotes.

Será que podemos colocar mais salgados em cada pacote?

Claro que podemos. Vou sugerir fazer pacotes com três salgados.

Com \(30\) coxinhas, podemos fazer \(10\) pacotes com três coxinhas cada, pois \(frac{30}{3}=10\).

Com \(120\) empadinhas, podemos fazer \(40\) pacotes com três empadinhas cada, pois \(frac{120}{3}=40\).

Com \(75\) croquetes, podemos fazer \(25\) pacotes com três croquetes cada, pois \(frac{75}{3}=25\).

Estamos melhorando, pois anteriormente estávamos fazendo pacotes com \(1\) salgado. Agora estamos fazendo pacotes com \(3\) salgados.

Certamente existem melhores possibilidades, mas não podemos continuar realizando esse processo, pois é oneroso.

Vamos voltar à minha sugestão de pacotes com três salgados.

Compreenda que o número \(3\) é divisor comum dos números \(30\), \(120\) e \(75\). A idéia é a mesma quando sugeri pacotes com \(1\) salgado cada, ou seja, o número \(1\) é divisor comum dos números \(30\), \(120\) e \(75\).

Dessa forma, já temos dois divisores comuns dos números \(30\), \(75\) e \(120\).

Queremos o maior deles, pois o maior será a maior quantidade possível de salgados em cada pacote. Analisando a situação friamente, nós queremos conhecer o máximo divisor comum dos números \(30\), \(75\) e \(120\).

Nessa resolução, usaremos o método de decomposição em fatores primos.

Vamos começar decompondo os números \(30\), \(75\) e \(120\) em fatores primos.

Dando continuidade, faremos uma comparação entre as decomposições encontradas.

\(\30=2^{1}cdot 3^{1}cdot 5^{1}\ \75=3^{1}cdot 5^{2}\\ 120 = 2^{3}cdot 3^{1}cdot 5^{1}\)

Em seguida, nós multiplicaremos os fatores primos comuns, cada um deles elevado ao menor expoente.

Veja que o fator primo \(3\) é comum e seu menor expoente é \(1\). Dessa forma, usaremos a potência \(5^{1}\) no cálculo do mdc.

Podemos agora multiplicar os fatores primos comuns.

\(MDC(30,75,120)=3^{1}cdot 5^{1} = 3cdot 5=15\)

Na nossa questão, \(15\) é a maior quantidade possível de salgados que podemos colocar nos pacotes de modo que não sobre nenhum salgado.

O que nós achamos foi a quantidade de salgadinhos em cada pacote. A banca pede a quantidade de pacotes.

Com \(30\) coxinhas, podemos fazer \(2\) pacotes com \(15\) coxinhas cada, pois \(frac{30}{15}=2\).

Com \(120\) empadinhas podemos fazer \(8\) pacotes com \(15\) empadinhas cada, pois \(frac{120}{15}=8\).

Com \(75\) croquetes podemos fazer \(5\) pacotes com \(15\) croquetes cada, pois \(frac{75}{15}=5\).

Total de pacotes \(= 2 + 8 + 5 = 15\).

Assim Dona Suzana obterá \(15\) pacotes.

A alternativa C apresenta a resposta correta.

Espero que você tenha gostado do nosso artigo. Não se esqueça de deixar seu comentário. Queremos saber sua opinião!