Aprenda a determinar o número de linhas de uma tabela verdade

Nesse artigo vamos falar sobre tabela verdade mais especificamente sobre o número de linhas de uma tabela verdade.

Esse tema é altamente recorrente nos concursos públicos, principalmente naqueles da carreira policial.

Tabela verdade é uma ferramenta utilizada no estudo da lógica matemática.

Por meio dessa tabela é possível definir o valor lógico de uma proposição, ou seja, saber quando uma sentença é verdadeira ou falsa.

Na prática, usamos a tabela verdade em proposições compostas, ou seja, sentenças formadas por sentenças simples.

\(p\): A lua é quadrada (proposição simples).

\(p\): A neve é branca (proposição simples).

\(p wedge q\): A lua é quadrada e a neve é branca (proposição composta).

Dessa forma, para determinar os possíveis valores lógicos da proposição composta \(p wedge q\), usamos a tabela verdade.

Como você já sabe, para combinar proposições simples e formar proposições compostas, são usados conectivos lógicos. Esses conectivos indicam operações lógicas.

Na proposição composta \(p wedge q\) apresentada anteriormente, foi utilizado o conectivo “e” representado pelo símbolo \(“wedge “\).

Na tabela abaixo, apresentamos os principais conectivos e suas características.

Conectivo	Símbolo	Operação Lógica	Valor Lógico
não	~	Negação	Terá valor falso quando a proposição lógica for verdadeira e vice-versa.
e	^	Conjunção	Será verdadeira somente quando todas as proposições forem verdadeiras.
ou	v	Disjunção	Será verdadeira quando pelo menos uma das proposições for verdadeira.
se…então		Condicional	Será falsa quando a proposição antecedente for verdadeira e a consequente for falsa.
…se somente se…		Bicondicional	Será verdadeira quando ambas as proposições forem verdadeiras ou ambas falsas.

Após essa introdução resumida sobre tabela verdade e proposições simples e compostas, entraremos no tema principal desse artigo: número de linhas de uma tabela verdade.

Para fazermos a análise correta do valor lógico de uma proposição composta, devemos montar corretamente a nossa tabela verdade, garantindo que estamos cobrindo todas as possibilidades possíveis para as proposições simples que compõem a proposição composta.

As bancas realizadoras de concursos públicos( Cebraspe, FGV, Fundação Carlos Chagas) tem trazido questões desafiando os candidatos a determinar o número de linhas de uma tabela verdade.

Esse tipo de questão faz o candidato levantar o seguinte questionamento: a partir de um determinado número de proposições simples que compõem uma proposição composta, qual será a quantidade máxima de linhas da tabela verdade?

Vou te responder usando um diagrama de árvore.

– Usando diagrama de árvore

Seja p uma proposição qualquer. Sabe-se que – de forma intuitiva – podemos atribuir apenas os valores lógicos verdadeiro \((V)\) ou falso \((F)\). Dessa forma, temos o diagrama de árvore. 

p	~p
V	F
F	V

Evidentemente que uma proposição simples terá apenas 2 linhas na tabela verdade.

Para duas proposições simples \(p\) e \(q\), o número de arranjos possíveis será dado conforme o diagrama de árvore abaixo.

p	q	p ^ q
v	v	v
v	f	f
f	v	f
f	f	f

Veja que o diagrama de árvore apresenta quatro arranjos possíveis, ou seja, duas proposições simples resultam 4 linhas na tabela verdade.

p	q	r	(p ^ q) v r
v	v	v	v
v	v	f	v
v	f	v	v
v	f	f	f
f	v	v	v
f	v	f	f
f	f	v	v
f	f	f	f

O diagrama de árvore apresenta oito arranjos possíveis, ou seja, três proposições simples resultam \(8\) linhas.

Você deve estar se perguntando onde que eu quero chegar com tudo isso. Calma! Vamos tentar generalizar esse processo que relaciona o número de linhas de uma tabela verdade e a quantidade de argumentos ou proposições simples \((p,q,r,…)\) que compõe essa tabela.

\(1\) proposição simples  = 2 linhas = \(2^{1}\) linhas.

\(2\) proposições simples = 4 linhas = \(2^{2}\) linhas.

\(3\) proposições simples = 8 linhas = \(2^{3}\) linhas.

.                                              .                  .

.                                              .                  .

.                                              .                  .

\(n\) proposições simples =  …            =  \(2^{n}\) linhas.

Generalizando essa situação, podemos afirmar que

\(large Total de linhas = 2^{n}\)Sendo que \(n\) é o número de proposições simples.

No final das contas, o processo de demonstração que nos dá uma simples fórmula para encontrar o número de linhas de uma tabela verdade, pode ter deixado você um pouco preocupado ou confuso.

O mais importante aqui é que você tenha acompanhado o processo e entendido de forma razoável. O que vai contar agora é a sua capacidade de aplicação da fórmula que nós chegamos agora pouco.

Dessa forma, vamos resolver alguns exercícios para testar seus conhecimentos.

Exercício 1 – Se \(A, ; B, ; C\) e \(D\) forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da proposição \((Arightarrow B) leftrightarrow (Crightarrow D )\) será superior a \(15\).

Resolução:

O exercício deixa claro que as proposições \(A, B, C, D\) são simples e distintas, ou seja, diferentes umas das outras.

Essa informação é muito importante porque na fórmula que usamos temos que contar apenas as proposições distintas.

Nesse caso, \(n = 4\), pois temos quatro proposições simples que compõe a proposição composta \((Arightarrow B) leftrightarrow (Crightarrow D )\).

Número de linhas da tabela verdade \(= 2^{n}=2^{4}=16\).

O número de linhas da tabela verdade é superior a \(15\).

Dessa forma, o item está correto.

Exercício 2 – Considerando que, além de \(A\) e \(B\), \(C, D, E\) e \(F\) também sejam proposições, não necessariamente todas distintas, e que N seja o número de linhas da tabela-verdade da proposição \([Arightarrow (B vee C)]leftrightarrow [(Dwedge E)rightarrow F)]\), então \(2 leq Nleq 64\).

O exercício revela que há \(6\) proposições as quais não necessariamente são distintas. Em seguida, diz que \(N\) representa o número de linhas da proposição composta \([Arightarrow (B vee C)]leftrightarrow [(Dwedge E)rightarrow F)]\).

Por fim, temos que julgar se \(2 leq Nleq 64\).

Como não sabemos se todas as proposições são distintas, então vamos trabalhar com duas situações que representam os extremos em relação ao número de proposições distintas.

Primeiramente, vamos supor que todas as \(6\) proposições são iguais. Dessa forma, temos apenas uma proposição simples. Nesse caso, \(n=1\).

Número de linhas da tabela verdade \(=2^{n}= 2^{1}=2\).

Nessa situação, a tabela verdade terá \(2\) linhas, ou seja, \(N=2\).

Agora, faremos o contrário, vamos supor que todas as proposições simples são distintas. Dessa forma, temos seis proposições simples. Nesse caso, \(N=6\).

Número de linhas da tabela verdade \(2^{n}= 2^{6}=64\) .

Nesse caso, a tabela verdade terá \(64\) linhas, ou seja, \(N=64\).

Encontramos dois valores para \(N\), isto é, \(2\) e \(64\). As nossas respostas estão pautadas em situações extremas: uma com a quantidade mínima de proposições distintas e outra com a quantidade máxima de proposições distintas.

Quanto mais proposições distintas tivermos, maior o valor de \(N\), ou seja, maior a quantidade de linhas da tabela verdade.

Portanto, o item está correto, pois sempre vai variar no intervalo indicado.

Você pode acompanhar a resolução desses dois exercícios no vídeo abaixo.

Chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre esse assunto.

Você pode acompanhar a resolução das questões do Quiz no vídeo abaixo.

A resolução do Quiz está disponível também em texto! Aproveite da melhor forma!

Questão 1

Disciplina: Raciocínio LógicoAssunto: Fundamentos de Lógica, Tabelas-Verdade, Tautologia, Contradição e ContingênciaAno: 2011Banca: CESPE / CEBRASPEÓrgão: TRE-ESProva: Analista – Análise de Sistemas – Básicos

Considerando que os símbolos \(vee , sim , rightarrow , leftrightarrow\) e \(wedge\) representem as operações lógicas “ou”, “não”, “condicional”, “bicondicional” e “e”, respectivamente, julgue o item a seguir, acerca da proposição composta \(P: (p vee sim q) leftrightarrow (sim p wedge r)\) em que \(p,q\) e \(r\) são proposições distintas.

O número de linhas da tabela-verdade de \(P\) é igual a \(16\).

Resolução:

Nessa questão, a banca apresenta algumas informações sobre os operadores lógicos. No andar da carruagem, essas informações são triviais para quem já estuda raciocínio lógico. Além disso, essas informações adicionais não nos ajuda a resolver a questão. Enfim, queremos saber o número de linhas da tabela verdade \((pvee q)leftrightarrow (sim p wedge r)\).

Estudamos no artigo acima que o número máximo de linhas de uma tabela verdade  está em função do número de proposições simples que compõe a proposição em análise.

O enunciado menciona que p, q e r são proposições simples e distintas que, como podemos ver, compõem a proposição composta \(P:(pvee q)leftrightarrow (sim p wedge r)\).

Dessa forma, na nossa fórmula, \(n=3\).

Número de linhas da tabela verdade \(= 2^{n}=2^{3}=8\).

O número de linhas da tabela verdade de \(P\) é igual a \(8\).

Portanto, o item está errado.

Questão 2

Disciplina: Raciocínio LógicoAssunto: Fundamentos de Lógica, Tabelas-Verdade, Tautologia, Contradição e ContingênciaAno: 2011Banca: CESPE / CEBRASPEÓrgão: PREVICProva: Cargos de Nível Superior

Considere que \(P\), \(Q\) e \(R\) sejam proposições simples que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Com relação às operações lógicas de negação \((sim )\), conjunção \((wedge )\),  disjunção \((vee )\) e implicação \((rightarrow)\) julgue o item subsecutivo.

O número de linhas da tabela-verdade da proposição \((Pwedge Qrightarrow R)\) é inferior a \(6\).

(   ) Certo

(   ) Errado

Resolução:

Nessa questão, a banca chega a ser amigável, haja vista a indicação das informações no enunciado de forma bem didática.

Queremos saber o número de linhas da tabela verdade da proposição \((Pwedge Q rightarrow R)\).

O enunciado afirma que \(P\), \(Q\) e \(R\) são proposições simples.

A proposição composta  \((Pwedge Q rightarrow R)\) contém três proposições simples. Isso é suficiente para determinarmos o número de linhas da tabela verdade, já que o número de linhas da tabela verdade está em função do número de proposições simples que compõe a proposição em análise.

Dessa forma, na nossa fórmula, \(n=3\).

Número de linhas da tabela verdade .

O número de linhas da tabela verdade da proposição \((Pwedge Q rightarrow R)\) é igual a \(8\), ou seja, superior a \(6\).

Portanto, o item está errado.

Questão 3

Disciplina: Raciocínio LógicoAssunto: Fundamentos de Lógica, Tabelas-Verdade, Tautologia, Contradição e ContingênciaAno: 2013Banca: CESPE / CEBRASPEÓrgão: SEGER-ESProva: Analista Executivo – Direito

Um provérbio chinês diz que:

P1: Se o seu problema não tem solução, então não é preciso se preocupar com ele, pois nada que você fizer o resolverá.P2: Se o seu problema tem solução, então não é preciso se preocupar com ele, pois ele logo se resolverá.

O número de linhas da tabela verdade correspondente à proposição P2 do texto apresentado é igual a

A) 24

B) 4

C) 8

D) 12

E) 16

Resolução:

Nessa questão, a banca pede o número de linhas da tabela verdade da proposição P2, entretanto não é indicado de forma explícita quantas proposições simples compõem a proposição composta P2.

A proposição P2 contém uma condicional, ou seja, possui um antecedente e um consequente.

Chamaremos o antecedente de proposição simples \(a\).

\(a:\) o seu problema tem solução.

Já o consequente é tudo que vem depois da palavra “então”, mas isso não significa que temos apenas uma proposição simples. Temos que analisar a situação.

Na expressão “não é preciso se preocupar com ele”, há a negação de uma proposição simples a qual chamaremos de \(b\). O que vem depois é apenas uma explicação, dessa forma, para facilitar a explicação, vamos omiti-la.

\(b:\) é preciso se preocupar com ele.

O que temos na proposição P2 é \(sim b\) : não é preciso se preocupar com ele.

P2: \(arightarrow sim b\)

A proposição composta P2 contém duas proposições simples.

Agora podemos definir o número de linhas da tabela verdade.

Dessa forma, pela nossa fórmula, \(n=2\).

Número de linhas da tabela verdade .

O número de linhas da tabela verdade da proposição composta P2 é igual a \(4\).

A alternativa B apresenta a resposta correta.

Questão 4

Disciplina: Raciocínio LógicoAssunto: Fundamentos de Lógica, Tabelas-Verdade, Tautologia, Contradição e ContingênciaAno: 2018Banca: AOCPÓrgão: UFOBProva: Analista de Tecnologia da Informação- Desenvolvimento

Um dos conceitos iniciais de lógica é o de estruturas lógicas. Em relação às estruturas lógicas, julgue, como certo ou errado, o item a seguir.

Tabela-verdade é o conjunto de todas as possibilidades de avaliarmos uma proposição composta. O número de linhas da tabela-verdade depende do número de proposições e é calculado pela fórmula: \(2cdot n\), em que\(n\) é o número de preposições.

(   ) Certo

(   ) Errado

Resolução:

A questão pede apenas para julgarmos se a fórmula apresentada calcula corretamente o número de linhas de uma tabela verdade.

Pelo que estudamos nesse artigo, o número de linhas de uma tabela verdade é dada pela fórmula \(2^{n}\), onde \(n\) é o número de proposições simples e distintas que compõe a proposição analisada.

Dessa forma, o item está errado.

Questão 5

Disciplina: Raciocínio LógicoAssunto: Fundamentos de Lógica, Proposições Simples e Compostas e Operadores Lógicos, Tabelas-Verdade, Tautologia, Contradição e ContingênciaAno: 2019Banca: FUNDATECÓrgão: Prefeitura de Gramado – RSProva: Auxiliar Administrativo

Dadas as proposições \(P, Q\) e \(R\), o número de linhas da tabela-verdade da proposição composta \((Pwedge Q)rightarrow R\) é:

A) 3B) 4C) 5D) 8E) 10

Resolução:

A questão apresenta as proposições simples que compõe a proposição composta \((Pwedge Q)rightarrow R\).

Rapidamente podemos identificar que há três proposições simples que compõe a proposição composta.

Sabemos que o número de linhas da tabela verdade de qualquer proposição lógica está em função do número de proposições simples e distintas que compõe essa proposição analisada.

Vamos aplicar a fórmula, sabendo que \(n=3\).

Número de linhas da tabela verdade \(=2^{n}=2^{3}=8\).

O número de linhas da tabela verdade da proposição composta \((Pwedge Q)rightarrow R\) é igual a \(8\).

A alternativa D apresenta a resposta correta.

Questão 6

Disciplina: Raciocínio LógicoAssunto: Fundamentos de Lógica, Tabelas-Verdade, Tautologia, Contradição e ContingênciaAno: 2014Banca: FUNCABÓrgão: PRFProva: Agente Administrativo – 02

Determine o número de linhas da tabela-verdade da proposição: “Se trabalho e estudo matemática, então canso, mas não desisto ou não estudo matemática”.

A) 16B) 8C) 32D) 4E) 64

Resolução:

Começaremos identificando o número de proposições simples que compõe a proposição composta “Se trabalho e estudo matemática, então canso, mas não desisto ou não estudo matemática”.

Claramente podemos identificar uma condicional. Sabemos que uma condicional possui antecedente e consequente.

Começaremos identificando as proposições simples que compõe o antecedente dessa condicional.

Há uma conjunção de duas proposições simples no antecedente, ou seja, duas proposições conectadas pelo conectivo “e”.

Chamaremos essas proposições de a e b.

\(a:\) (Eu) trabalho.

\(b:\) (Eu) estudo matemática.

O antecedente possui a seguinte estrutura: \((awedge b)\). Dessa forma, até aqui temos duas proposições simples.

Vamos analisar o consequente, ou seja, toda a estrutura que vem após a palavra “então”.

Vejo que nós temos uma conjunção pelo uso do conectivo “mas” e uma disjunção pelo uso do conectivo “ou”.

Você deve estar se perguntando: Como assim a palavra “mas” é uma conjunção?

Pois é…vivendo e aprendendo. Ou melhor, estudando e aprendendo.

Vou listar aqui para você alguns conectivos lógicos.

Conjunção	Nome da Relação
e	Conjunção
ou	Disjunção
ou…ou	Disjunção exclusiva
implica	Condicional
se…então	Condicional
se e somente se	Bicondicional
somente se	Condicional
apenas no caso	Bicondicional
mas	Conjunção

No consequente da condicional temos duas conjunções simples as quais chamaremos de \(c\) e \(d\).

\(c:\) (Eu) canso.

\(sim d:\) (Eu) não desisto.

\(d:\) (Eu) desisto.

A parte final “não estudo matemática” é a negação da proposição \(b\) a qual já identificamos no antecedente da condicional.

Em termos simbólicos, a proposição composta \((awedge b)rightarrow c wedge (sim d vee sim b)\).

A proposição composta \((awedge b)rightarrow c wedge (sim d vee sim b)\) possui quatro proposições simples. Agora podemos definir o número de linhas da tabela verdade.

Dessa forma, na nossa fórmula \(n=4\).

Número de linhas da tabela verdade \(=2^{n}=2^{4}=16\).

A tabela verdade contém \(16\) linhas.

A alternativa A apresenta a resposta correta.

 Agora é com você! Espero que esse artigo tenha te ajudado a alcançar seus objetivos! Deixe o seu comentário, compartilhe com seus amigos!